domingo, 30 de abril de 2017

Sistemas de Ecuaciones - Ejercicio 03

Vamos a estudiar en esta ocasión el tercer ejercicio de la relación de ejercicios de Sistemas de Ecuaciones que se propuso en una entrada anterior.

Sea el sistema de ecuaciones
\[ \left. \begin{array}{r}bx+3y+\phantom{b}z=2\\[2mm]4x-6y+bz=b\end{array}\right\} \]
  1. Discuta el sistema comparando los rangos de las matrices de coeficientes y ampliada.
  2. ¿Qué interpretación geométrica tiene el sistema y, si fuese compatible, su solución?
  3. Resuelva el sistema para \(b=0\).
  4. Razone si para cierto valor de \(b\) es \( \left( 1 \, , 1 \, , -1 \right) \) una solución.

Bueno, aunque no es estrictamente necesario, vamos a usar también para la discusión del sistema el Teorema de Rouché. La resolución y la discusión geométrica son sencillos al tener sólo dos ecuaciones. Manos a la obra.

Sistemas de Ecuaciones - Ejercicio 04

Con esta entrada concluimos la serie dedicada a la resolución de los ejercicios propuestos en la relación acerca de los Sistemas de Ecuaciones. En esta ocasión analizamos el cuarto y último ejercicio:

Sea el sistema de ecuaciones
\[ \left. \begin{array}{r} k x+\phantom{k}y=1\\[1mm]x+{k}y=1\\[1mm]x+\phantom{k}y=k\\\end{array}\right\} \]
  1. Discuta el sistema comparando los rangos de las matrices de coeficientes y ampliada.
  2. Resuelva el sistema para \(k=1\).

Volveremos, otra vez, a utilizar para la discusión del sistema el Teorema de Rouché. Y la resolución será, como veremos, muy sencilla ya que para dicho valor del parámetro las tres ecuaciones coinciden: estamos realmente ante un sistema con \(x+y=1\) como única ecuación.

Sistemas de Ecuaciones - Ejercicio 02

En este espacio vamos a considerar el segundo ejercicio de la relación de ejercicios de Sistemas de Ecuaciones que se propuso en una entrada anterior.

Sea el sistema de ecuaciones
\[ \left. \begin{array}{rcr} (m+2) x -\phantom{m} y - z &= & 1 \\[1mm] -x - \phantom{m} y + z & = & -1 \\[1mm] x + m y - z & = & m \end{array} \right\} \]
  1. Para cierto valor del parámetro m sabemos que la inversa de la matriz de coeficientes es la que sigue. Determine dicho valor de m y resuelva el sistema.
  2. \[M=\left(\begin{array}{rrr}1&-1&-2\\0&-1&-1\\1&-1&-3\\\end{array}\right)\]
  3. Discuta el sistema según los valores del parámetro m.
  4. Resuelva el sistema en el caso de que tenga infinidad de soluciones.

Bueno, es un ejercicio muy completo en la que cada apartado nos demanda un saber diferente: la resolución matricial de un sistema en el primero, el Teorema de Rouché (por ejemplo) en el segundo y resolver un sistema de ecuaciones compatible indeterminado en el tercero.

viernes, 28 de abril de 2017

Sistemas de Ecuaciones - Ejercicios 01

En esta entrada vamos a comenzar a estudiar la relación de ejercicios de Sistemas de Ecuaciones que propusimos. Vamos con el primer ejercicio.

EJERCICIO 1: Sea el sistema de ecuaciones
\[ \left\{ \begin{array}{ccr} a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z&=&1\\[1mm] a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z& =& -1\\[1mm] a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z& =& 2 \end{array} \right. \] Si \( A \) designa a la matriz de los coeficientes, resuelve el sistema sabiendo que
\[ A^{-1} = \left( \begin{array}{ccr} 1 & 0 & -1\\ 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right) \]

Muchos estudiantes se sienten desconcertados nada más ver el enunciado: ¡no se conoce ni uno sólo de los coeficientes! Pero es una práctica muy simple: se trata sólo de expresar y resolver matricialmente el sistema.

sábado, 8 de abril de 2017

Ejercicios sobre Sistemas de Ecuaciones Lineales

Para aquellos que necesitéis repasar Sistemas de Ecuaciones Lineales, del Segundo de Bachillerato de Ciencias, os propongo una breve relación de ejercicios que os puede resultar útil.

Iremos resolviendo en sucesivas publicaciones los ejercicios de esta relación para que comprobéis qué tal os ha ido.

Recordad que están también a vuestra disposición en la carpeta de recursos los exámenes de este curso y del pasado, detalladamente resueltos.

domingo, 4 de diciembre de 2016

Un ejercicio de Distribución Binomial

Esta es la primera entrada sobre Cálculo de Probabilidades de este blog y va acerca de un sencillo ejercicio sobre la Distribución Binomial.

En un proceso de fabricación de tornillos se sabe que el 2% son defectuosos. Los empaquetamos en cajas de 50 tornillos. Tomemos una de estas cajas a azar.
  1. ¿Qué probabilidad hay de que no haya ningún tornillo defectuoso en ella?
  2. ¿Y de que haya sólamente uno?
  3. Calculemos la probabilidad de que haya al menos dos defectuosos.
¿Cuántos tornillos defectuosos habrá, por término medio, en cada caja?

Prácticamente todo se reduce a observar que se trata de un experimento que puede enmarcarse en el modelo de la Distribución Binomial. Una vez hecho esto, simplemente usar la lógica y aplicar la fórmula la probabilidad que nos proporciona el modelo.

sábado, 19 de noviembre de 2016

Número de soluciones de una ecuación

En esta ocasión vamos a mostrar cómo usar algunos teoremas básicos del Cálculo para determinar el número de soluciones de una ecuación en la que sus miembros definen funciones derivables.

Consideremos la ecuación \[ 2x= \cos\left(x\right) \]
  1. Determinemos gráficamente cuántas soluciones tiene.
  2. Demostremos algebraicamente las conclusiones sacadas anteriormente.

Vamos a usar Geogebra para construir las gráficas responder a la primera cuestión. Y veremos cómo combinar el Teorema de Bolzano (para demostrar la existencia de soluciones de una ecuación) con el Teorema de Rolle (para acotar el número de soluciones)