martes, 30 de diciembre de 2014

Repaso Cálculo Diferencial - 06

Ya estamos en el ejercicio sexto de la relación que propusimos:

Consideremos la función \( f \) definida por
\( f\left(x \right) = \dfrac{\operatorname{e}^{\,2x}}{x-1} \quad (x\neq 1) \)
  1. Estudia su continuidad.
  2. Averigua en qué intervalos crece y decrece, y obtén sus extremos relativos.
  3. Determina las asíntotas de su gráfica.

En este ejercicio hemos de estudiar la continuidad y determinar las asíntotas de una función así como estudiar la variación (monotonía y extremos). Pasemos directamente sin más preámbulos:

lunes, 29 de diciembre de 2014

Repaso Cálculo Diferencial - 05

El ejercicio que nos ocupa es el quinto de la relación que propusimos:

Consideremos la función \( f : \left[-2\,,2\right] \rightarrow \mathbb{R} \) definida por
\( f\left(x \right) = x^3+ax^2+bx+c \)
  1. Obtén los valores de \(a\), \(b\) y \(c\) sabiendo que el origen de coordenadas es un punto de inflexión de su gráfica y que para \(x=1\) la recta tangente es paralela a \(2x-y+3=0\).
  2. Para \(a=0\), \(b=-3\) y \(c=0\) obtén sus valores extremos.

Típico problema que encontramos en libros, apuntes y exámenes sobre esta temática: averiguar los coeficientes de una función conociendo unas pistas. Observemos que es una función polinómica, así que no hay problemas con discontinuidades ni puntos angulosos ni otras monsergas.
En el primer apartado pondremos en práctica tres ideas: que cuando una curva pasa por un punto la ordenada se obtiene sustituyendo la abscisa en la fórmula, que la derivada segunda se anula en un punto de inflexión y que la pendiente de la recta tangente en un punto es igual a la derivada de la función en dicho punto.
En el segundo se trata de obtener los extremos de una función en un intervalo compacto: los candidatos son el punto inicial, el punto final y los ceros de la derivada.

domingo, 28 de diciembre de 2014

Repaso Cálculo Diferencial - 04

Hoy nos toca analizar el cuarto ejercicio de la relación que propusimos:

Sea \(f\) la función dada por
\(f(x)=\left\{\begin{array}{ccr} \operatorname{e}^{2x} -1 &\text{si}&x \leq 0 \\[2mm] \dfrac{x^2}{x-1} &\text{si}&x>0\\[3mm] \end{array}\right.\)
  1. Analiza su derivabilidad obteniendo \(f'\left(x\right)\).
  2. Obtén sus asíntotas.

Vemos que es un ejercicio en el que hemos de aplicar nuestros conocimientos y destrezas sobre continuidad y derivabilidad de una función, así como sobre la obtención de las asíntotas de su gráfica a partir de su expresión analítica.

sábado, 27 de diciembre de 2014

Repaso Cálculo Diferencial - 03

Pasemos a resolver el tercer ejercicio de la relación que propusimos:

Calcula
  1. \( \displaystyle{\lim_{x\to0}\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x^2} } \)
  2. \(\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty}\left( x^2 \cdot \operatorname{e}^{-3x} \right)} \)

Aquí vamos a calcular dos límites usando la Regla de L'Hôpital.

viernes, 26 de diciembre de 2014

Repaso Cálculo Diferencial - 02

Pasemos ahora a resolver el segundo ejercicio de la relación que propusimos:

Consideremos la función \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) definida por
\[ f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} a\cos(\pi x) +bx &\text{si}&x \leq 1\\[3mm] 2\ln(x) + x &\text{si}&x> 1 \end{array}\right.\] Calculemos \(a\) y \(b\) para que sea derivable en todo su dominio.

Vamos aquí a entrenar nuestra habilidad para analizar la derivabilidad de una función, particularmente definida a trozos, y su relación con la continuidad. Concretamente, se trata de hallar unos parámetros para que una función a trozos sea derivable en todo punto.

miércoles, 24 de diciembre de 2014

Repaso Cálculo Diferencial - 01

Vamos a comenzar resolviendo el primer ejercicio de la relación que propusimos:

Consideremos la función \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) definida por
\( f\left(x \right) = x^3-5x^2+5x+3 \)
  1. Halla la ecuación de la normal para \( x =0 \).
  2. Demuestra que la recta de ecuación \( r: 2x+y-6=0 \) es tangente a su gráfica, obteniendo el punto de tangencia.

En este ejercicio se practican unas nociones muy simples: la ecuación de las rectas tangente y normal a la gráfica de una función, que en este caso es polinómica.

lunes, 22 de diciembre de 2014

Repaso de Cálculo Diferencial

Para aquellos que necesitéis repasar Cálculo Diferencial (Ampliación de Derivadas y Aplicaciones de las Derivadas) del Segundo de Bachillerato de Ciencias, os propongo una breve relación de ejercicios que os puede resultar útil.

Iré resolviendo en sucesivas publicaciones los ejercicios de esta relación para que comprobéis qué tal os ha ido.

Recordad que están también a vuestra disposición en la carpeta de recursos los exámenes de este curso y del pasado, detalladamente resueltos.

Felices Fiestas y buen repaso.

lunes, 15 de diciembre de 2014

Tarea de Cálculo de Primitivas con Geogebra

Pretendemos

Aprender a usar las nuevas tecnologías para, de forma rápida y simple:
  1. Aprender a escribir una expresión algebraica.
  2. Conocer la sintaxis de las funciones elementales incorporadas en Geogebra.
  3. Calcular la integral indefinida de una función.

Las herramientas

  1. Trabajaremos con GeoGebra haciendo uso de las acciones o herramientas:
  2. : integral de una fórmula.
  3. Guardar un trabajo.
  4. Usaremos la plataforma Moodle para entregar el archivo con Geogebra, concretamente usaremos el módulo “Tarea”.

Tarea

  1. Resolvemos con Geogebra el ejercicio asignado, observando el ejercicio resuelto en este mismo blog.
  2. Si XX es el nº del ejercicio resuelto, lo guardamos con el nombre:
tarea03-geogebra-XX
  1. Entramos en nuestra plataforma pealfa.dtdns.net y en la tarea de la lección “Cálculo de Primitivas” subimos el archivo para que sea revisado. Más adelante sabremos si está todo bien o hay que revisar algo. 

Enunciados y ficha

En la carpeta de la tarea encontrarás
  • hoja con los enunciados de los ejercicios que vais a resolver por parejas.
  • ficha de la tarea con ayuda.

domingo, 14 de diciembre de 2014

Tarea de Programación Lineal con Geogebra

Pretendemos

Aprender a usar las nuevas tecnologías para, de forma rápida y simple:
  1. Resolver un sistema de inecuaciones.
  2. Obtener los vértices de un polígono convexo intersecando las ecuaciones de sus lados.
  3. Optimizar una función lineal en un polígono convexo acotado.

Las herramientas

  1. Trabajaremos conGeoGebra haciendo uso de las acciones o herramientas:
    • \( a_1 x + b_1 y \leq c_1 \, \text{ && } a_2 x + b_2 y \geq c_2 \ldots \): Dibujar sistema de inecuaciones lineales.
    • :intersección de gráficas.
    • :insertar texto.
    • Acceder a la Propiedades de un objeto, desde el menú contextual.
    • Guardar un trabajo.
  2. Usaremos la plataforma Moodle para entregar el archivo con Geogebra, concretamente usaremos el módulo “Tarea”.

Tarea

  1. Resolvemos con Geogebra el ejercicio asignado, observando el ejercicio resuelto en este mismo blog.
  2. Si XX es el nº del ejercicio resuelto, lo guardamos con el nombre:
tarea03-geogebra-XX
  1. Entramos en nuestra plataforma pealfa.dtdns.net y en la tarea de la lección “Programación Lineal” subimos el archivo para que sea revisado. Más adelante sabremos si está todo bien o hay que revisar algo. 

Enunciados y ficha

En la carpeta de la tarea encontrarás
  • hoja con los enunciados de los ejercicios que resolveréis por parejas.
  • ficha de la tarea con ayuda.

jueves, 11 de diciembre de 2014

Problema de programación lineal (optimización)

En esta entrada nos proponemos resolver el siguiente problema de programación lineal:

El estadio del Mediterráneo, construido para la celebración de los “Juegos Mediterráneos Almería 2005”, tiene una capacidad de 20000 espectadores.
Para la asistencia a estos juegos se han establecido las siguientes normas:el número de adultos no debe superar al doble del número de niños y el número de adultos menos el número de niños no será superior a 5000.
Si el precio de la entrada de niño es de 10 euros y la de adulto 15 euros ¿cuál es la composición de espectadores que proporciona mayores ingresos? ¿A cuánto ascenderán esos ingresos?

Su resolución tiene dos fases: una primera en la que planteamos el problema (traduciendo al lenguaje algebraico) hasta obtener el objetivo y las restricciones, y una segunda en la que dibujaremos la región factible y obtendremos el valor óptimo de la función.

miércoles, 10 de diciembre de 2014

Pendientes de Matemáticas Aplicadas I

Plan de Recuperación
Se dividirá la materia en dos bloques:
  • Bloque 1: Estadística descriptiva, Cálculo de Probabilidades, Distribución Normal.
  • Bloque 2: Aritmética, Álgebra, Funciones y Límites de Funciones.
Se harán dos exámenes parciales a largo del curso:
  • Examen 1: 29 de enero de 2015, donde entrarán las lecciones del Bloque 1.
  • Examen 2: 23 de abril de 2015, donde entrarán las lecciones del Bloque 2.
Ambos exámenes se valorarán de 0 a 10 y se realizará la media aritmética de las calificaciones de ambos. Si no es inferior a 5, se considerará superada la asignatura y la puntuación será el redondeo de dicha media.
En caso de que el alumno obtuviese una media inferior a 5, se propondrá un examen final para recuperar. Sólo será obligatorio examinarse del bloque o bloques cuya calificación sea inferior a 5:
  • Examen Final: 7 de mayo de 2015. Para recuperar el bloque o bloques suspensos si la media de los dos exámenes 1 y 2 es inferior a 5.
Si de nuevo se volviese a suspender, habría que presentarse a la evaluación extraordinaria de Septiembre con toda la materia.

La carpeta siguiente tiene recursos para trabajar:


Los exámenes serán de tipo práctico, proponiéndose en cada uno cuatro o cinco ejercicios para resolver. Se propone trabajar, al menos, todos los problemas de los exámenes así como los ejercicios de las autoevaluaciones que podemos encontrar al final del texto de cada lección.

Consulta cualquier duda que tengas al respecto.

Pendientes de Matemáticas I

Plan de Recuperación
Se dividirá la materia en dos bloques:
  • Bloque 1: Aritmética, Álgebra, Funciones (gráficas y operaciones), Límites y continuidad de funciones e Introducción a las derivadas. Son las lecciones 1,2,8,9,10 del temario.
  • Bloque 2: Trigonometría, Fórmulas trigonométricas, Números complejos, Geometría vectorial y Geometría del plano. Son las lecciones 3,4,5,6,7 del temario.
Se harán dos exámenes parciales a largo del curso:
  • Examen 1: 29 de enero de 2015, donde entrarán las lecciones del Bloque 1.
  • Examen 2: 23 de abril de 2015, donde entrarán las lecciones del Bloque 2.
Ambos exámenes se valorarán de 0 a 10 y se realizará la media aritmética de las calificaciones de ambos. Si no es inferior a 5, se considerará superada la asignatura y la puntuación será el redondeo de dicha media.
En caso de que el alumno obtuviese una media inferior a 5, se propondrá un examen final para recuperar. Sólo será obligatorio examinarse del bloque o bloques cuya calificación sea inferior a 5:
  • Examen Final: 7 de mayo de 2015. Para recuperar el bloque o bloques suspensos si la media de los dos exámenes 1 y 2 es inferior a 5.
Si de nuevo se volviese a suspender, habría que presentarse a la evaluación extraordinaria de Septiembre con toda la materia.

La carpeta siguiente tiene recursos para trabajar:


Los exámenes serán de tipo práctico, proponiéndose en cada uno cuatro o cinco ejercicios para resolver. Se propone trabajar, al menos, todos los problemas de los exámenes así como los ejercicios de las autoevaluaciones que podemos encontrar al final del texto de cada lección.

Consulta cualquier duda que tengas al respecto.

martes, 9 de diciembre de 2014

Cálculo de Primitivas IV

Veamos hoy cómo obtener la integral indefinida de una función racional donde su denominador tiene los ceros reales y sencillos:

Calculemos la integral indefinida \[ I=\int \! \frac{x^3+x^2}{x^2+x-2}\,{\rm d}x \]

Bien, para obtener la integral de una función racional daremos estos pasos:

En primer lugar analizamos el grado del numerador y del denominador. Si el denominador no tiene mayor grado que el denominador, efectuaremos la división y reducimos a un caso en que sí lo sea.

En segundo lugar observamos si es un logaritmo o un arco tangente que encontramos en la tabla de integrales compuestas sencillas.

Si no ocurre eso, intentamos obtener los ceros del denominador y factorizarlo. En este caso, los ceros son reales y sencillos, por lo que se procede a expresar el integrando como suma de fracciones simples cuyo de nominador es de primer grado.

lunes, 8 de diciembre de 2014

Cálculo de Primitivas III

En esta entrada resolveremos la siguiente propuesta:

Calculemos la integral indefinida \[ I= \int\! \frac{5x}{2+\sqrt x}\,{\rm d}x\] Sugerencia: usemos el cambio de variable \(x=t^2\).

Se trata de obtener una integral indefinida mediante un cambio de variable directo \(x=\varphi\left(t \right) \). Con ello la reduciremos a la integral de una función racional,  que sabremos calcular. Finalmente habrá que deshacer dicho cambio de variable.

domingo, 7 de diciembre de 2014

Cálculo de Primitivas II

Vamos a intentar dar respuesta al siguiente ejercicio:

Sea la función definida por \[ f\left( x \right) = x \ln \left( x+1 \right) \quad (x>-1) \] Determina la primitiva de ella cuya gráfica pasa por el punto \(\left( 0\,,1 \right) \).

Se trata de obtener una primitiva que cumple una condición: obtendremos la integral indefinida de la función y luego hallaremos la constante de integración que cumple dicha condición.

sábado, 6 de diciembre de 2014

Cálculo de Primitivas I

En esta entrada os propongo calcular las siguientes integrales indefinidas. Posteriormente, vamos a comprobar los resultados con Geogebra.

Obtengamos las siguientes integrales indefinidas:
\( \displaystyle{ I_1= \int\! x\operatorname{e}^{x^2-4}\mathrm{d}x }\)
\( \displaystyle{ I_2= \int\! \cot{4x}\,\mathrm{d}x } \)
\( \displaystyle{ I_3=\int\! \frac{\left(\ln{x}\right)^4}{x}\,\mathrm{d}x }\)
\( \displaystyle{ I_4=\int\! \frac{2x}{\sqrt{1-9x^4}}\,\mathrm{d}x }\)
\( \displaystyle{ I_5=\int\! \frac{5}{1+3x^2}\,\mathrm{d}x }\)
\( \displaystyle{ I_6=\int\! \sec^2\left(2x-1\right)\mathrm{d}x }\)

Como vemos, son integrales de formas compuestas: se trata de realizar el proceso inverso a la aplicación Regla de la Cadena con funciones elementales. Podemos intentarlo de dos formas: con un cambio de variable o identificando cada una de ellas en la tabla de las formas compuestas básicas.

viernes, 5 de diciembre de 2014

Ejercicio de programación lineal (optimización)


Vamos a mostrar, a título de ejemplo, cómo resolver con Geogebra el siguiente problema de optimización lineal:

Maximizar la función
\[ f(x)=2x+3y \]
en el recinto definido por
\[ R : \left\{ \begin{array}{ccc} x + 3 y \leq 3 \\ 2 x +y \leq 4\\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{array} \right.\]

Presentación

Hola.

En esta primera entrada me gustaría agradecer la visita e indicar el propósito de este blog.

Soy profesor de Matemáticas en el IES Delgado Hernández de Bollullos del Condado (España) y creo que podría ser una buena herramienta para mis cursos.

Es mi intención ir colocando aquí enlaces, artículos, sugerencias, ... que sean de utilidad a mis alumnos y a todo aquél que llegue de visita.

Serán bienvenidas todas las sugerencias e intentaré responder a vuestras consultas.

Saludos

Pepe Álvarez