miércoles, 24 de diciembre de 2014

Repaso Cálculo Diferencial - 01

Vamos a comenzar resolviendo el primer ejercicio de la relación que propusimos:

Consideremos la función \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) definida por
\( f\left(x \right) = x^3-5x^2+5x+3 \)
  1. Halla la ecuación de la normal para \( x =0 \).
  2. Demuestra que la recta de ecuación \( r: 2x+y-6=0 \) es tangente a su gráfica, obteniendo el punto de tangencia.

En este ejercicio se practican unas nociones muy simples: la ecuación de las rectas tangente y normal a la gráfica de una función, que en este caso es polinómica.

Recordemos que la recta tangente en un punto tiene como pendiente la derivada de la función en ese punto, así que lo primero es derivar la función:
\[f\left(x \right) = x^3-5x^2+5x+3 \, \xrightarrow{D} \, f'\left(x \right) = 3x^2-10x+5\] Vayamos al primer apartado: la recta normal a una curva en un punto es la perpendicular a la recta tangente en dicho punto. Por ello, la ecuación de la normal a la curva para \( x =0 \) tiene de ecuación
\[y-f\left(0\right) = -\frac{1}{f'\left(0\right)}\cdot \left( x - 0 \right) \] Sustituyendo en las respectivas fórmulas, obtenemos \( f\left(0\right) = 3 \,,\, f'\left(0\right)=5 \), de donde resulta:
\[y - 3 = -\frac{1}{5}\cdot \left( x - 0 \right) \, \rightarrow \, y=-\frac{1}{5}x+3\]
Vamos ahora al segundo apartado: demostrar que la recta dada es tangente y averiguar el punto de tangencia.
Recordemos que la pendiente de la tangente en un punto es igual a la derivada de la función en dicho punto, así que lo primero será calcular la pendiente de la recta dada:
\[r: 2x+y-6=0 \, \rightarrow \, y= -2x+6 \, \rightarrow \,  m=-2 \] Ahora hemos de igualar la derivada a esa pendiente, para averiguar en qué abscisa ocurre eso:
\[f'\left(x \right) = -2  \, \rightarrow \, 3x^2-10x+5=-2  \, \rightarrow \,3x^2-10x+7=0 \, \rightarrow \, x=1 \,, x=\frac{7}{3}  \] Vemos que hay dos puntos en los que la derivada es igual a la pendiente: ¿quiere eso decir que la recta dada es tangente a la curva para esos dos valores? No.
Para \(x = 1 \) y para  \(x=\frac{7}{3}  \) la tangente tiene la misma pendiente ( \( m=-2\) ) que la recta dada y por ello o son paralelas o son la misma recta. Para salir de dudas, calculemos la recta tangente para \( x=1 \):
\[ y-f\left(1\right) = f'\left(1\right)\cdot \left( x - 1 \right) \, \rightarrow \, y- 4 = -2\left( x - 1 \right) \, \rightarrow \, y= -2x+6  \] ¡Obtenemos la recta dada! Concluimos así que es tangente a la gráfica en el punto \( \left(1\,,4\right) \).
Comprueba que para la otra abscisa la tangente es paralela a la recta dada.

Aquí este segundo apartado resuelto con Geogebra:

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