domingo, 4 de diciembre de 2016

Un ejercicio de Distribución Binomial

Esta es la primera entrada sobre Cálculo de Probabilidades de este blog y va acerca de un sencillo ejercicio sobre la Distribución Binomial.

En un proceso de fabricación de tornillos se sabe que el 2% son defectuosos. Los empaquetamos en cajas de 50 tornillos. Tomemos una de estas cajas a azar.
  1. ¿Qué probabilidad hay de que no haya ningún tornillo defectuoso en ella?
  2. ¿Y de que haya sólamente uno?
  3. Calculemos la probabilidad de que haya al menos dos defectuosos.
¿Cuántos tornillos defectuosos habrá, por término medio, en cada caja?

Prácticamente todo se reduce a observar que se trata de un experimento que puede enmarcarse en el modelo de la Distribución Binomial. Una vez hecho esto, simplemente usar la lógica y aplicar la fórmula la probabilidad que nos proporciona el modelo.

sábado, 19 de noviembre de 2016

Número de soluciones de una ecuación

En esta ocasión vamos a mostrar cómo usar algunos teoremas básicos del Cálculo para determinar el número de soluciones de una ecuación en la que sus miembros definen funciones derivables.

Consideremos la ecuación \[ 2x= \cos\left(x\right) \]
  1. Determinemos gráficamente cuántas soluciones tiene.
  2. Demostremos algebraicamente las conclusiones sacadas anteriormente.

Vamos a usar Geogebra para construir las gráficas responder a la primera cuestión. Y veremos cómo combinar el Teorema de Bolzano (para demostrar la existencia de soluciones de una ecuación) con el Teorema de Rolle (para acotar el número de soluciones)

viernes, 18 de noviembre de 2016

Teorema de Rolle con parámetros

Hoy vamos a estudiar el siguiente típico ejercicio relativo al Teorema de Rolle:

Dada \( f : \left[-1\,,5\right] \rightarrow \mathbb{R} \) definida por
\[ f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc} -x^2+a x & \text{si} & -1\leq x <3\\[2mm] b x + c & \text{si}& 3 \leq x \leq 5 \end{array}\right.\] Calculemos \(a\) , \(b\) y \(c\) para que cumpla las hipótesis del Teorema de Rolle. ¿Cuál es el valor medio \( \xi \) para el que se cumple la tesis?

Como vemos, se trata de calcular tres parámetros para que se cumplan las tres hipótesis del Teorema de Rolle. Y, para ellos, obtener el valor en el que se cumple la tesis del Teorema.

jueves, 10 de noviembre de 2016

Asíntota de una función con radicales

Vamos a estudiar aquí un ejercicio propuesto en clase y que ha aparecido en Pruebas de Selectividad:

Sea la función \(f: \left[1\,,+\infty\right) \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \[f\left(x\right)=\sqrt{x^2 -x} +x \] Obtén la asíntota de su gráfica.
Repasaremos algunas cuestiones elementales sobre cálculo de límites y obtención de las asíntotas de una gráfica.

viernes, 7 de octubre de 2016

Actividades de repaso de Límites y Continuidad - IV

Vamos a desarrollar aquí el cuarto ejercicio propuesto en la relación de ejercicios que enunciamos aquí:

Consideremos la ecuación \[ \operatorname{e}^{-x}=1+\ln\left(x\right) \]
  1. Demuestra que tiene solución, encontrando un intervalo de longitud igual a una décima que la contenga.
  2. Dibuja las gráficas que definen cada uno de sus miembros y determina cuántas soluciones tiene.

Vamos a mostrar nuestras destrezas aplicando el Teorema de Bolzano para demostrar la existencia de soluciones de una ecuación y determinar el número de soluciones apoyándonos en la representación de gráficas elementales.

miércoles, 5 de octubre de 2016

Actividades de repaso de Límites y Continuidad - III

Vamos a desarrollar aquí el tercer ejercicio propuesto en la relación de ejercicios que enunciamos aquí:

Consideremos la función continua \( f : \left[-1\,,3\right] \rightarrow \mathbb{R} \) definida por \[ f(x)=\left\{\begin{array}{ccr} x+k &\text{si}&-1\leq x \leq 0 \\ x^2-3x+1 &\text{si}& 0 < x \leq 3 \\ \end{array}\right. \] a) Calcula el valor de la constante \( k \).

b) Demuestra que alcanza su valor máximo y su valor mínimo.

c) Dibuja su gráfica y determina los extremos anteriores.


Vamos aquí a trabajar con la continuidad de una función a trozos con un parámetro, el Teorema de Weierstrass (extremos de funciones continuas en intervalos compactos) y la obtención de los extremos trazando una gráfica elemental.

lunes, 3 de octubre de 2016

Actividades de repaso de Límites y Continuidad - II

Vamos a desarrollar aquí el segundo ejercicio propuesto en la relación de ejercicios que enunciamos aquí:

Determina \(a\,,b\,,c\) para que la curva \(y=\dfrac{a}{x^2+bx+c} \) sea la siguiente:

Gráfica con asíntotas verticales en x=-3 y x=1 que pasa por (0,-1).


Se trata de que relacionemos la gráfica con su fórmula para que, observando sus asíntotas y algún punto de ella, obtengamos coeficientes desconocidos en dicha fórmula.

viernes, 30 de septiembre de 2016

Actividades de repaso de Límites y Continuidad - I

Vamos a desarrollar aquí el primer ejercicio propuesto en la relación de ejercicios que enunciamos aquí:

Sea la función \(f: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \[f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccr} \dfrac{2x^2}{x+1} &\text{si}&x \leq 1\\[4mm] 1+\operatorname{e}^{1-x}&\text{si}&x>1\\ \end{array}\right. \] a) Obtén su dominio de definición.

b) Estudia su continuidad.

c) Obtén sus asíntotas.
Vamos aquí a repasar algunas cuestiones elementales en lo referente al estudio de la continuidad de una función compuesta de trozos elementales y a la obtención de las asíntotas de su gráfica.

lunes, 19 de septiembre de 2016

Continuidad y límites de funciones... comenzamos

En este curso incluiremos una nueva lección en nuestro temario, siguiendo los continuos cambios legislativos.

Como tema número cero daremos un breve repaso al Cálculo de Límites, que estudiasteis en el curso anterior así como a la Continuidad. Y tendremos como novedad los teoremas de funciones continuas sobre intervalos compactos \( \left[a\,,b\right] \).

En la carpeta de materiales ya está a vuestra disposición el esquema, el desarrollo, los ejercicios propuestos y la autoevaluación. Pero no hay exámenes de cursos anteriores pues se trata de una novedad en nuestro temario.

Así que para culminar el estudio os propongo un examen sobre continuidad de funciones, que os puede ser útil y servir como modelo, para practicar. En próximas entradas lo iremos resolviendo y veremos cómo puede ayudarnos Geogebra.

Aprovecho para desearos un buen curso escolar a todos.