sábado, 19 de noviembre de 2016

Número de soluciones de una ecuación

En esta ocasión vamos a mostrar cómo usar algunos teoremas básicos del Cálculo para determinar el número de soluciones de una ecuación en la que sus miembros definen funciones derivables.

Consideremos la ecuación \[ 2x= \cos\left(x\right) \]
  1. Determinemos gráficamente cuántas soluciones tiene.
  2. Demostremos algebraicamente las conclusiones sacadas anteriormente.

Vamos a usar Geogebra para construir las gráficas responder a la primera cuestión. Y veremos cómo combinar el Teorema de Bolzano (para demostrar la existencia de soluciones de una ecuación) con el Teorema de Rolle (para acotar el número de soluciones)

viernes, 18 de noviembre de 2016

Teorema de Rolle con parámetros

Hoy vamos a estudiar el siguiente típico ejercicio relativo al Teorema de Rolle:

Dada \( f : \left[-1\,,5\right] \rightarrow \mathbb{R} \) definida por
\[ f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc} -x^2+a x & \text{si} & -1\leq x <3\\[2mm] b x + c & \text{si}& 3 \leq x \leq 5 \end{array}\right.\] Calculemos \(a\) , \(b\) y \(c\) para que cumpla las hipótesis del Teorema de Rolle. ¿Cuál es el valor medio \( \xi \) para el que se cumple la tesis?

Como vemos, se trata de calcular tres parámetros para que se cumplan las tres hipótesis del Teorema de Rolle. Y, para ellos, obtener el valor en el que se cumple la tesis del Teorema.

jueves, 10 de noviembre de 2016

Asíntota de una función con radicales

Vamos a estudiar aquí un ejercicio propuesto en clase y que ha aparecido en Pruebas de Selectividad:

Sea la función \(f: \left[1\,,+\infty\right) \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \[f\left(x\right)=\sqrt{x^2 -x} +x \] Obtén la asíntota de su gráfica.
Repasaremos algunas cuestiones elementales sobre cálculo de límites y obtención de las asíntotas de una gráfica.