sábado, 19 de noviembre de 2016

Número de soluciones de una ecuación

En esta ocasión vamos a mostrar cómo usar algunos teoremas básicos del Cálculo para determinar el número de soluciones de una ecuación en la que sus miembros definen funciones derivables.

Consideremos la ecuación \[ 2x= \cos\left(x\right) \]
  1. Determinemos gráficamente cuántas soluciones tiene.
  2. Demostremos algebraicamente las conclusiones sacadas anteriormente.

Vamos a usar Geogebra para construir las gráficas responder a la primera cuestión. Y veremos cómo combinar el Teorema de Bolzano (para demostrar la existencia de soluciones de una ecuación) con el Teorema de Rolle (para acotar el número de soluciones)

GRÁFICA

Aquí tenemos un pantallazo de Geogebra. Hemos dibujado las gráficas que definen ambos miembros de la ecuación y apreciamos claramente que sólo hay una solución de la ecuación, que podemos situar en el intervalo \( \left(0\,,1\right)\).


EXISTENCIA Y NÚMERO DE SOLUCIONES

a) Existencia de solución

Vamos al grano pues ya tenemos localizada la solución: consideremos la función definida por \( \varphi\left(x\right)=2x-\cos\left(x\right)\): los ceros de esta función son precisamente las soluciones de la ecuación dada.

Observemos que como es continua en todo punto lo es en el intervalo compacto \( \left[ 0 \,, 1\right] \), siendo \( \varphi\left(0\right)= -1 \) y \( \varphi\left(1\right)= +0.54\ldots \). Por el Teorema de Bolzano, la ecuación \( \varphi\left(x\right)=0 \) tiene solución en el intervalo \( \left( 0 \,, 1 \right) \).

b) Acotación del número de soluciones.

La función \( \varphi \) es derivable, así que vamos a estudiar cuántos ceros tiene su derivada: \[ \varphi'\left(x\right)=2-\operatorname{sen}\left(x\right) =0 \, \rightarrow \, \operatorname{sen}\left(x\right) = 2 \, \rightarrow \, \text{ imposible}\] Como la ecuación \(\varphi'\left(x\right)=0\) no tiene solución, por el Teorema de Rolle, concluimos que la ecuación \(\varphi\left(x\right)=0\) tiene a lo sumo una solución.

c) Conclusión.

De (a) y (b) deducimos que la ecuación estudiada tiene sólo una solución y que se encuentra en el intervalo \( \left( 0 \,, 1 \right) \).

NOTA: Observemos en la imagen que, ya puestos, hemos intentado resolver la ecuación con Geogebra usando Resuelve[ecuación], pero el programa no ha encontrado ninguna solución, a pesar de que estamos viendo en la gráfica que sí hay solución. Esto nos lleva a reflexionar sobre los límites de los programas y a no confiar ciegamente en sus respuestas. Para que el programa la encuentre usamos el comando ResuelveN[ecuación]. Con él intentamos sólo una resolución aproximada, numérica (de ahí la N).

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