domingo, 4 de junio de 2017

Examen de Septiembre Matemáticas II

Hola.

Parte del alumnado del Bachillerato de Ciencias tiene que realizar, al finalizar el Segundo Curso, una Prueba Extraordinaria para superar la asignatura.

En la carpeta de exámenes del curso 2014/2015 podéis encontrar un examen final, detalladamente resuelto, que puede servir bien para un último repaso. El examen final consta de dieciséis ejercicios prácticos, organizados en cuatro bloques: Cálculo Diferencial, Cálculo Integral, Álgebra Lineal y Geometría.

También encontramos una Prueba de Septiembre que sirve de modelo: ocho ejercicios distribuidos entre las dos opciones que se dan para elegir.

Éste también puede ser de provecho para un vistazo global con vistas a enfrentarse a, por ejemplo, una Prueba de Acceso a la Universidad o a un Ciclo Formativo Superior.

Espero que, tanto a unos como a otros, sean de utilidad.

domingo, 30 de abril de 2017

Sistemas de Ecuaciones - Ejercicio 03

Vamos a estudiar en esta ocasión el tercer ejercicio de la relación de ejercicios de Sistemas de Ecuaciones que se propuso en una entrada anterior.

Sea el sistema de ecuaciones
\[ \left. \begin{array}{r}bx+3y+\phantom{b}z=2\\[2mm]4x-6y+bz=b\end{array}\right\} \]
  1. Discuta el sistema comparando los rangos de las matrices de coeficientes y ampliada.
  2. ¿Qué interpretación geométrica tiene el sistema y, si fuese compatible, su solución?
  3. Resuelva el sistema para \(b=0\).
  4. Razone si para cierto valor de \(b\) es \( \left( 1 \, , 1 \, , -1 \right) \) una solución.

Bueno, aunque no es estrictamente necesario, vamos a usar también para la discusión del sistema el Teorema de Rouché. La resolución y la discusión geométrica son sencillos al tener sólo dos ecuaciones. Manos a la obra.

Sistemas de Ecuaciones - Ejercicio 04

Con esta entrada concluimos la serie dedicada a la resolución de los ejercicios propuestos en la relación acerca de los Sistemas de Ecuaciones. En esta ocasión analizamos el cuarto y último ejercicio:

Sea el sistema de ecuaciones
\[ \left. \begin{array}{r} k x+\phantom{k}y=1\\[1mm]x+{k}y=1\\[1mm]x+\phantom{k}y=k\\\end{array}\right\} \]
  1. Discuta el sistema comparando los rangos de las matrices de coeficientes y ampliada.
  2. Resuelva el sistema para \(k=1\).

Volveremos, otra vez, a utilizar para la discusión del sistema el Teorema de Rouché. Y la resolución será, como veremos, muy sencilla ya que para dicho valor del parámetro las tres ecuaciones coinciden: estamos realmente ante un sistema con \(x+y=1\) como única ecuación.

Sistemas de Ecuaciones - Ejercicio 02

En este espacio vamos a considerar el segundo ejercicio de la relación de ejercicios de Sistemas de Ecuaciones que se propuso en una entrada anterior.

Sea el sistema de ecuaciones
\[ \left. \begin{array}{rcr} (m+2) x -\phantom{m} y - z &= & 1 \\[1mm] -x - \phantom{m} y + z & = & -1 \\[1mm] x + m y - z & = & m \end{array} \right\} \]
  1. Para cierto valor del parámetro m sabemos que la inversa de la matriz de coeficientes es la que sigue. Determine dicho valor de m y resuelva el sistema.
  2. \[M=\left(\begin{array}{rrr}1&-1&-2\\0&-1&-1\\1&-1&-3\\\end{array}\right)\]
  3. Discuta el sistema según los valores del parámetro m.
  4. Resuelva el sistema en el caso de que tenga infinidad de soluciones.

Bueno, es un ejercicio muy completo en la que cada apartado nos demanda un saber diferente: la resolución matricial de un sistema en el primero, el Teorema de Rouché (por ejemplo) en el segundo y resolver un sistema de ecuaciones compatible indeterminado en el tercero.

viernes, 28 de abril de 2017

Sistemas de Ecuaciones - Ejercicios 01

En esta entrada vamos a comenzar a estudiar la relación de ejercicios de Sistemas de Ecuaciones que propusimos. Vamos con el primer ejercicio.

EJERCICIO 1: Sea el sistema de ecuaciones
\[ \left\{ \begin{array}{ccr} a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z&=&1\\[1mm] a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z& =& -1\\[1mm] a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z& =& 2 \end{array} \right. \] Si \( A \) designa a la matriz de los coeficientes, resuelve el sistema sabiendo que
\[ A^{-1} = \left( \begin{array}{ccr} 1 & 0 & -1\\ 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right) \]

Muchos estudiantes se sienten desconcertados nada más ver el enunciado: ¡no se conoce ni uno sólo de los coeficientes! Pero es una práctica muy simple: se trata sólo de expresar y resolver matricialmente el sistema.

sábado, 8 de abril de 2017

Ejercicios sobre Sistemas de Ecuaciones Lineales

Para aquellos que necesitéis repasar Sistemas de Ecuaciones Lineales, del Segundo de Bachillerato de Ciencias, os propongo una breve relación de ejercicios que os puede resultar útil.

Iremos resolviendo en sucesivas publicaciones los ejercicios de esta relación para que comprobéis qué tal os ha ido.

Recordad que están también a vuestra disposición en la carpeta de recursos los exámenes de este curso y del pasado, detalladamente resueltos.